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Análisis Matemático 66

2024 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 5 - Polinomio de Taylor

EJERCICIO 5.1

Obtener el polinomio de Taylor de la función $f(x)=\ln (x+2)$ en un entorno de $x=1$ de orden 3. Verificar que $f(1)$ es igual a $p(1)$, $f^{\prime}(1)$ es igual a $p^{\prime}(1)$, $f^{\prime \prime}(1)$ es igual a $p^{\prime \prime}(1)$ y $f^{\prime \prime \prime}(1)$ es igual a $p^{\prime \prime \prime}(1)$, ¿qué se puede decir al respecto?

EJERCICIO 5.2

Calcular el polinomio de Taylor de las siguientes funciones del orden indicado centrado en $x_{0}$.

a) $f(x)=\ln (x)$ de orden 3 con $x_{0}=1$.
b) $f(x)=\frac{3}{2-3 x}$ de orden 3 con $x_{0}=\frac{1}{3}$.
c) $f(x)=\cos (x)$ de orden 10 con $x_{0}=0$.
d) $f(x)=\sqrt{3-x}$ de orden 2 con $x_{0}=2$.
e) $f(x)=x \ln (x+1)$ de orden 3 con $x_{0}=0$.
EJERCICIO 5.3

Sea el polinomio de Taylor $P(x)=5(x-3)^{6}+3(x-3)+1$ asociado a la función $y=f(x)$ centrado en $x=3$ de grado 6. Se pide:

a) Calcular $f(3), f^{\prime}(3), f^{(3)}(3)$ y $f^{(4)}(3)$.
b) Calcular la recta tangente a $f(x)$ en $x=3$.
c) Calcular el polinomio de Taylor de $g(x)=e^{f(x)}$ centrado en $x=3$ de grado 2.
EJERCICIO 5.4

Dada la función $f(x)=e^{x}$. Se pide:

a) Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 centrado en $x=0$.
b) Hallar el polinomio de Taylor de grado $n$.
c) Con el polinomio hallado en el ítem $a$, calcular el valor aproximado del número $e$.

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